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引子：出于某些原因，我不应该写引子，也不应该写注释。¹

昨天晚上是今年的 Klavio 音乐会，地点在电教。电教大概是北大所有教学楼中最老旧的一个，我对它的印象只是“一个上量统的地方”。量统的老师進藤先生是日本人，满口的オペレタ，有着典型的或者说传言中典型的日本人的扎实特质——手写了九百页讲义，发给我们扫描版。量统的教室是大阶梯教室，地板是灰色的，没有铺地砖，抬头是深绿色的可以上下推拉的黑板。坐在这样的教室里听日本老师英文授课，有时还能听到钢琴声，总让我想起某些外国电影中上世纪的大学课堂。

今天没有什么特别的
无非是风吹得耳朵疼
无非是骑自行车手会很冷

勃拉姆斯第二号弦乐六重奏（op. 36）写于1864-1865年间，距其创作第一号六重奏（op.18, 1859-1860）已过去五年，其间他写出了两首管弦乐小夜曲、三首带有钢琴的室内乐和悲壮而甜美的第一钢琴协奏曲。相比第一钢琴协奏曲的戏剧化，这首六重奏显得温和很多；比起第一六重奏，它又显得灰暗和朴素，预示着贯穿勃拉姆斯此后大部分成熟作品的内敛气质。另外，这首六重奏，也展示出着勃拉姆斯在作曲技法——尤其是对位法——上的全面提高。

今夜无月，今夜只有满天的星星
最明亮的星被放逐在湖底
未名湖，你是一片荒凉的流放地

一

三年前的正月十五，我回到儿时生活的工厂家属区。是时，路边已挂起红色的灯笼，记忆在浅灰色的天空中忽聚忽散。

走过子校门口，就想起诸多往事。当年每到正月十五，一群小孩就打着纸糊的灯笼，里面点着蜡烛，在社区里乱转。待夜深将回家时，便聚在广场，把灯笼转起来、撞起来，让它们在最后的舞蹈中为烛火所吞噬——这也算是传统习俗。每年我们聚在一起烧灯笼时，总能看到语文老师孔老师，一个五十多岁的大汉，身材魁梧，提着他的大灯笼，孤零零地坐在广场的角落，纸烟的黄点在手中明了又灭，灭了又明。最后，他把烟在灯笼上灭掉，取出蜡烛，点燃灯笼，木条在他面前折断，点燃的纸片飞起又落下，最后只剩几片未烧尽的纸，火星在其上闪烁——他注视的却是闪烁的星星。

甲初学微分几何, 了解到切向量定义如下:

微分流形 $M$ 中 $p$ 点上的切向量 $X_p$ 是一个从 $p$ 点处所有 differentiable function 的代数到实数集的线性映射, 即 $X_p:\mathcal{F}_p(M)\rightarrow\mathbb{R}$, 且满足莱布尼茨积规则: $X_p(fg)=f(p)X_pg+g(p)X_pf$.

如果选择一个 chart $(U,\phi)$, 切向量可以用坐标表示为

\[X_pf=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\left(f\circ\phi^{-1}\right).\]

他清楚这一定义显然具有坐标变换下的不变性, 所以满足向量的要求. 但仍然想不明白: 它和几何直观中切向量的定义有什么联系呢? 为什么不直接定义成一个”向量”呢? 于是他去找乙请教.

Einstein, Podolsky, Rosen三人的论文Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? (对物理实在的量子力学描述是完备的吗?) 是量子力学发展史上的一篇重要文献. 这篇论文从科学哲学的角度对量子力学的完备性提出了质疑, 引发了旷日持久的争论, 这些争论促成了诸多重要概念的提出和发展, 这些概念则建构了量子信息科学的理论基础. 因此, 直到今天, 这篇论文对于试图了解量子信息乃至从事相关研究的人, 仍然是绕不开的经典.

EPR的论文乍看来似乎曲折回环, 但其论证思路实际上非常清晰, 本文将先梳理原文的论证思路, 再联系后续的发展简要谈谈笔者的理解.